Persamaan Diferensial Eksak
• Bila ada
fungsi dua variabel F(y,t), diferensial totalnya:
dF(y, t) = ( ∂F/∂y ) dy + ( ∂F/∂t )
dt
• Pada saat
dF(y, t) = 0, (∂F/∂y) dy + ( ∂F/∂t ) dt = 0,
Bentuk
persamaan diferensial tersebut disebut Persamaan Diferensial Eksak, karena ruas
kiri merupakan diferensial dari F(y, t) secara eksak.
• Misalkan
saja F( y, t ) = y2 t + k ; k= konstan
Diferensial
totalnya, dF = 2y t dy + y2 dt, maka persamaan diferensialnya berbentuk 2y t dy
+ y2 dt = 0
atau dy/dt +
y2/2y t = 0
• Secara
umum, persamaan diferensial Mdy + Ndt = 0 merupakan PD eksak jika dan hanya
jika ada fungsi F(y, t) dengan M = ∂F/∂y dan N = ∂F/∂t
Karena
∂2F/∂t∂y = ∂2F/∂y∂t, maka kita dapat katakan bahwa M dy + N dt = 0 merupakan PD
eksak jikka ∂M/∂t = ∂N/∂y
Apakah 2y t
dy + y2 dt = 0 suatu PD eksak?
Penyelesaian
:
M = 2y t; N=
y2
∂M/∂t = 2y;
∂N/∂y = 2y
Dengan
demikian, ∂M/∂t = ∂N/∂y = 2y; artinya
PD tersebut
di atas eksak.
Mencari
Solusi PD eksak
PD eksak: M
dy + N dt = 0
Solusi: F(
y, t ) = ∫ M dy + ψ(t)
CONTOH SOAL
(1). 2y t dy + y2 dt = 0
Penyelesaian
:
M = 2y t; N
= y2
F(y, t) = ∫
2y t dy + Ψ(t) = y2 t +ψ (t)
Bagaimana
mencari besaran ψ (t) ?
∂F/∂t =
y2+ψ' (t)
Padahal
∂F/∂t = N = y2; akibatnya ψ ' (t) = 0 atau ψ (t) = k,
Maka F ( y,
t ) = y2 t + k
Dengan
demikian, solusi PD di atas adalah: y2 t = c; atau y(t) = c t-0.5 ; c = konstan
(2). Cari solusi PD berikut: ( t +2y
) dy + ( y + 3t2 ) dt =0
Penyelesian
:
M = t + 2y;
N = y + 3t2
∂M/∂t = 1 =
∂N/∂y ; berarti ∂M/∂t = ∂N/∂y → PD eksak
F(y,t) = ∫ M
dy + ψ(t)
= ∫ (t + 2y)
dy + ψ(t)
= yt + y2 +
ψ(t)
∂F/∂t = y +
ψ'(t)
Padahal N =
∂F/∂t = y + 3t2 ; berarti ψ'(t) = 3t2 ; ψ(t) = t3
Akibatnya, F
( y, t ) = yt + y2 + t3
Dengan
demikian, solusi dari PD eksak tersebut diatas adalah:
yt + y2 + t3
= c; c: konstan
Verifikasi:
diferensial total dari persamaan tersebut adalah:
( ∂F/∂y ) dy
+ ( ∂F/∂t ) dt = ( t + 2y ) dy + ( y + 3t2 ) dt = 0
PD yang dapat direduksi menjadi PD
Linier
Bila PD
dy/dt = h(y,t) dapat dinyatakan dalam bentuk tidak linier sebagai berikut:
dy/dt + Ry = Tym dengan R, T fungsi t dan m ≠0, m ≠1 maka PD tersebut selalu
dapat direduksi menjadi PD linier.
Proses
reduksi:
dy/dt + Ry =
T ym ; persamaan Bernoulli
y-m dy/dt +
R y1-m = T
sederhanakan:
z = y1-m
dz/dt =
dz/dy . dy/dt
= (1-m) y-m
. dy/dt
(1-m)-1
dz/dt + Rz = T
dz +[(1-m)
Rz - (1-m) T ] dt = 0
dz + (u z
–wT) dt; u =(1-m)R ; w =(1-m)
Solusi: z(t)
= e-∫ u(t) dt (A + ∫we ∫ u dt dt)
CONTOH SOAL
1. cari
solusi dari dy/dt + ty = 3 ty2
m = 2 ; z =
y1-m ; R = t T = 3t
PD
liniernya; dz + [(1- m) Rz – (1- m) T ] dt = 0
dz + [(1 –
2) tz - (1 – 2)(3t)] dt = 0
dz + ( -tz +
3t) dt = 0
solusi z(t)
= e-∫ u(t) dt (A + ∫we ∫ u dt dt)
dengan u(t)
= -t ; w(t) = -3t
∫ u(t) dt =
∫ -t dt = - t2/2
∫we ∫ u dt
dt = - ∫ 3t e- t2/2 dt = 3e- t2/2
z(t) = e
+t2/2 (A + 3e –et2/2) = A e t2/2 + 3
padahal,
z(t) = y(t)-1
atau y(t) =
z(t)-1 = (A + 3e –t2/2)-1
