Persamaan Diferensial Eksak

Persamaan Diferensial Eksak

• Bila ada fungsi dua variabel F(y,t), diferensial totalnya:

dF(y, t) = ( ∂F/∂y ) dy + ( ∂F/∂t ) dt

• Pada saat dF(y, t) = 0, (∂F/∂y) dy + ( ∂F/∂t ) dt = 0,

Bentuk persamaan diferensial tersebut disebut Persamaan Diferensial Eksak, karena ruas kiri merupakan diferensial dari F(y, t) secara eksak.

• Misalkan saja F( y, t ) = y2 t + k ;  k= konstan

Diferensial totalnya, dF = 2y t dy + y2 dt, maka persamaan diferensialnya berbentuk 2y t dy + y2 dt = 0

atau dy/dt + y2/2y t = 0

• Secara umum, persamaan diferensial Mdy + Ndt = 0 merupakan PD eksak jika dan hanya jika ada fungsi F(y, t) dengan M = ∂F/∂y dan N = ∂F/∂t

Karena ∂2F/∂t∂y = ∂2F/∂y∂t, maka kita dapat katakan bahwa M dy + N dt = 0 merupakan PD eksak jikka ∂M/∂t = ∂N/∂y

Apakah 2y t dy + y2 dt = 0 suatu PD eksak?

Penyelesaian :

M = 2y t; N= y2

∂M/∂t = 2y; ∂N/∂y = 2y

Dengan demikian, ∂M/∂t = ∂N/∂y = 2y; artinya

PD tersebut di atas eksak.

Mencari Solusi PD eksak

PD eksak: M dy + N dt = 0

Solusi: F( y, t ) = ∫ M dy + ψ(t)

CONTOH SOAL

(1). 2y t dy + y2 dt = 0

Penyelesaian :

M = 2y t; N = y2

F(y, t) = ∫ 2y t dy + Ψ(t) = y2 t +ψ (t)

Bagaimana mencari besaran ψ (t) ?

∂F/∂t = y2+ψ' (t)

Padahal ∂F/∂t = N = y2; akibatnya ψ ' (t) = 0 atau ψ (t) = k,

Maka F ( y, t ) = y2 t + k

Dengan demikian, solusi PD di atas adalah: y2 t = c; atau y(t) = c t-0.5 ;  c = konstan

(2). Cari solusi PD berikut: ( t +2y ) dy + ( y + 3t2 ) dt =0

Penyelesian :

M = t + 2y; N = y + 3t2

∂M/∂t = 1 = ∂N/∂y ; berarti ∂M/∂t = ∂N/∂y → PD eksak

F(y,t) = ∫ M dy + ψ(t)

= ∫ (t + 2y) dy + ψ(t)

= yt + y2 + ψ(t)

∂F/∂t = y + ψ'(t)

Padahal N = ∂F/∂t = y + 3t2 ; berarti ψ'(t) = 3t2 ; ψ(t) = t3

Akibatnya, F ( y, t ) = yt + y2 + t3

Dengan demikian, solusi dari PD eksak tersebut diatas adalah:

yt + y2 + t3 = c; c: konstan

Verifikasi: diferensial total dari persamaan tersebut adalah:

( ∂F/∂y ) dy + ( ∂F/∂t ) dt = ( t + 2y ) dy + ( y + 3t2 ) dt = 0

PD yang dapat direduksi menjadi PD Linier

Bila PD dy/dt = h(y,t) dapat dinyatakan dalam bentuk tidak linier sebagai berikut: dy/dt + Ry = Tym dengan R, T fungsi t dan m ≠0, m ≠1 maka PD tersebut selalu dapat direduksi menjadi PD linier.

Proses reduksi:

dy/dt + Ry = T ym ; persamaan Bernoulli

y-m dy/dt + R y1-m = T

sederhanakan: z = y1-m

dz/dt = dz/dy . dy/dt

= (1-m) y-m . dy/dt

(1-m)-1 dz/dt + Rz = T

dz +[(1-m) Rz - (1-m) T ] dt = 0

dz + (u z –wT) dt; u =(1-m)R ; w =(1-m)

Solusi: z(t) = e-∫ u(t) dt (A + ∫we ∫ u dt dt)

CONTOH SOAL

1. cari solusi dari dy/dt + ty = 3 ty2

m = 2 ; z = y1-m ; R = t T = 3t

PD liniernya; dz + [(1- m) Rz – (1- m) T ] dt = 0

dz + [(1 – 2) tz - (1 – 2)(3t)] dt = 0

dz + ( -tz + 3t) dt = 0

solusi z(t) = e-∫ u(t) dt (A + ∫we ∫ u dt dt)

dengan u(t) = -t ; w(t) = -3t

∫ u(t) dt = ∫ -t dt = - t2/2

∫we ∫ u dt dt = - ∫ 3t e- t2/2 dt = 3e- t2/2

z(t) = e +t2/2 (A + 3e –et2/2) = A e t2/2 + 3

padahal, z(t) = y(t)-1

atau y(t) = z(t)-1 = (A + 3e –t2/2)-1